První třída kašička

Četba historie výuky počtů je poutavá a překvapivě poučná i aktuální pro dnešního čtenáře. V našich zemích nejvíce prospěla vyučování počtům pedagogická činnost J. A. Komenského. V roce 1632 totiž Komenský početní vyučování přiřadil k čtení a psaní jako rovnocenný předmět a chtěl, aby se počtům učily děti již v obecné škole. Učebnice “Počtů", které se od těch dob začaly objevovat častěji a častěji, hledají správný obsah a správné členění látky tak, aby je mohlo zvládnout průměrné dítě. Práce Historie vyučování v matematice od Evy Pažourkové a kniha Středověké početní algoritmy od Martiny Bečvářové vám podají dobrou představu o této pedagogické složité výpočetní cestě.
(Poznámka: Vladimír Tesař)

Historie vyučování matematice v Českých zemích / Eva Pažourková / 2007
Komenský o vyučování v matematice / Jiří Mikulčák / 2010
Počátkové arytmetiky / Stanislav Vydra / 1806
Početnice (druhá) pro školy obecné / Jan Kozák a Jan Roček / 1899
Početnice (třetí) pro školy obecné / Jan Kozák a Jan Roček / 1917
Středověké početní algoritmy / Martina Bečvářová / 2001
Dějiny matematiky rozcestník / 1993 - 2020

Názorné vyučování (Početní cvičení) v prvé třídě obecných škol / František Tesař / Vydáno tiskem Rohlíčka a Sieverse v Praze roku 1873 v nakladatelství Theodor Mourek.

Obsah této prastaré didaktiky reprezentuje obvyklý vzor opakovací (drilovací) metodiky aritmetiky určené pro první třídu základní školy.
Jednotlivá početní cvičení jsou uvedena s krátkým a názorným pokynem a instrukcemi. Předpokládají tedy již jistou obeznámenost čtenáře a uživatele návodu.
Nikde ovšem nenaleznete doporučený počet opakování nutných k zapamatování látky.
Tím pádem musíme předpokládat předpoklad autora - a to, že jeho čtenáři (učitelé) již správnou míru - počet opakování - znají.
Dohledal jsem, že v pedagogické literatuře té doby je tato míra uváděna nejčastěji - pouze pod pseudonymem “Náležitá”. S tím, že se vztahuje jak pro písemnou (viděné), tak i mluvenou (myšlené) formu.
Přímo od mnoha generací přeživších uživatelů této metodiky (žáci) se nám dochoval požadavek - cíl této správné “náležité” míry ve formě rčení: "Jak když bičem mrská”, což byl vlastně původně starý školní termín, který popisoval rychlost udílených otázek pedagoga a vyžadovanou rychlost v odpovědích žáka při ústních zkouškách z počtů.

Pokyny: Pro dítě je obecně lehčí sčítání než odečítání - stejně tak násobení než dělení. Obecně těžší je tedy odečítání a nejvíce dělení.
Je důležité nejprve důkladně procvičit sčítání, než se dáme do odečítání. Je důležité nejprve důkladně procvičit násobení, než se dáme do dělení.

Početní cvičení I. / Okno

Učitel na tabuli nakreslí obrysy okno.

U: Řekni, kolik je tabulí v jednom křídle? Počítej!

Žák počítá na horním levém křídle 1,2,3.

U: Počítej na spodní polovici. Tři tabule jsme napočítali nahoře, dole jsme napočetli 1, to jsou 4, a ještě jednu, to je 5. Nyní budeme počítat tabule na pravém hořejším křídle. Kolik jsme napočetli i zde? Nyní je sečteme všechny! Na levé straně = 5, k tomu jednu z pravého křídla - je kolik? A ještě jednu; kolik je to? (Tak se počítá po jedné až do 10.) Na to se ptá učitel opět: 3 tabule a 1 kolik? a ještě jedna? 7 a 1? 2 a 1? …atd Dále učitel vede přičítání 2 tabulí.

U: 2 tabule a 2; kolik? 4 a 2? 6 a 2? 8 a 2? 1 a 2? 3 a 2? 5 a 2? 7 a 2? …atd

Toto počítání se děje na tabuli (obrázek), na počítadle, na drobných předmětech (v lavici). A konečně po procvičení take zpaměti.

Na to (po fixaci) následuje připočítávání tří (pouze do desíti);

1 a 3 = 4 + 3 = 7 + 3 = 10

2 + 3 =5 + 3 = 8

3 + 3 = 6 + 3 = 9

1 + 4 = 5 + 3 = 8

2 + 4 = 6 + 3 = 9

3 + 4 = 7 + 3 = 10

4 + 4 = 8

5 + 4 = 9

6 + 4 = 10

1 + 5 = 6 + 3 = 9

2 + 5 = 7 + 3 = 10

3 + 5 = 8

4 + 5 = 9

5 + 5 = 10

1 + 6 = 7 + 3 = 10

2 + 6 = 8

3 + 6 = 9

4 + 6 = 10

1 + 7 = 8

2 + 7 = 9

3 + 7 =10

1 + 8 = 9

2 + 8 = 10

1 + 9 = 10

Každý tento poměr se musí nejprve opakovaně ukázat a procvičit při práci (počítání) s předměty, než budeme chtít odpovídání zpaměti. Počet opakování a fixaci řídíme dle potřeb průměrného dítěte.

Na to následuje odčítání. Učitel umaže z desíti čárek (tabule) jednu a ptá se, kolik jich zbylo. Atd analogicky k procvičování sčítání. Tím se mají žáci naučit hbitě počítat od 1 do 10 a od 10 k 1. Hbitost docílíme opakovaným procvičováním v různých prostředích (tabule, papír, pomůcky, neoznačené kostičky, dřívka, žetony, kamínky).

Početní cvičení II. / Co je víc?

Dva rozpustilí hoši hodili kámen do okna. Jeden (první) roztloukl 2 a druhý 1 tabuli. Co je tedy víc: 2 nebo 1? A co je méně? O kolik je 2 více než 1? A o kolik je 1 méně než 2?

Odpovídáme na kolikrát.

Kolikrát po jednom kamínku bys musel hodit, abys hodil 2? Dvě je tedy kolikrát 1? Kolikrát 1 jsou 3? (takto se pokračuje až do desíti).

O kolik je víc?

O kolik je 3 víc než 2? 4 víc než 3? 5 víc než 4 a tak až do 10. O kolik je 3 víc než 1? 4 víc než 2? 6 víc než 4? Až do desíti. O kolik je 4 víc než 1 až do desíti.

Sčítáme 3 čísla. U. 1 + 1 + 1 kolik? Ž.3. U. Proč? 1 + 2 + 1 kolik? Ž.4. U. 2 + 2 + 1? Ž.5 U. 1 + 3 + 1? Ž. 5. U. 2 + 2 + 2? Ž. 6. U. 1 + 4 + 2? Ž. 7. U. 4 + 2 + 1? Ž. 7. U. 1 + 5 + 1? Tak až do 10.

Na to následuje rozdělování počtu na dva, na tři, na čtyři díly.

U. Řekněte 3 na dvakrát. Ž. 2 + 1. U. Nebo jinak? Ž. 1 + 2. Učitel 4! Ž. 2 + 2. U. Nebo? Ž. 3 + 1; 1 + 3. U.5! Ž. 4 + 1; 3 + 2; 1 + 4; 2 + 3. U.6! Ž. 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1 nebo: 1 + 5; 2 + 4. U.7! Ž. 6 + 1; 5 + 2; 4 + 3; 3 + 4; 2 + 5; 1 + 6. U.8! Ž. 7 + 1; 6 + 2; 5 + 3; 4 + 4 atd. U.9! Ž. 8 + 1 atd. U.10! Ž. 9 + 1 atd.

Procvičujeme dále. U. Řekněte 3 na třikrát! Ž. 1 + 1 + 1. U.4? 1 + 2 + 1; 2 + 1 + 1 atd. až do 10.

Početní cvičení III. / Ubíráme

Ubíráme / Opět nakreslíme okno (10 tabulek)

Kdyby se z těchto 10 tabulí 1 roztloukla, kolik jich zbude? A z 9 opět 1? A z 8 zase 1? (tak až do 0).

Od 10 - 2; 8 - 2; 6 - 2…; Kolik jich zbyde? (tak až do 0).

Od 10 - 3; 7 - 3;…; Kolik jich zbyde? atd.

Kolik z kolika se rozbilo?

4 z 10; 4 - 9; 4 - 8; 4 - 7; 4 - 6; 4 - 5; 4 - 4?

5 z 10; 5 - 9; 5 - 8; 5 - 7; 5 - 6; 5 - 5?

6 z 10; 6 - 9; 6 - 8; 6 - 7; 6 - 6?

Početní cvičení IV. / Malé násobení

U. 2 + 2 = 4; kolikrát jsme sečetli 2? Ž. Dvakrát (2 x 2); U. Kolik je tedy 2 x 2? U. 2 + 2 + 2; je kolik? Ž.6. U. Kolikrát jsme sečetli 2? Ž. 3 x 2. U. Kolik je tedy 3 x 2? U. 2 + 2 + 2 + 2; je kolik? Ž.8 U. Kolikrát jsme sečetli 2? Ž. 4 x 2.

U. A kolik jsme tedy napočetli? Kolik = 4 x 2. Ž. 8

U. 2 + 2 + 2 + 2 + 2; je kolik? Ž.10 U. Kolikrát jsme sečetli 2? Ž. 5 x 2. U. A kolik jsme tedy napočetli? Kolik je 5 x 2? Ž. 10

Tak se učí žáci počítat: 2 x 3; 3 x 3; 2 x 4; 2 x 5.

Nyní následuje dělení. Nejprve je třeba vysvětlit, co dělit znamená, co je díl, co jsou stejné a nestejné díly, co je rozpůlit, co je polovice.

Početní cvičení V. / Desítky

Co a jak se dělo od 1 až do 10, děje se nyní v ostatních desítkách. U. Umíte už do 10 počítat a uvidíte, jak lehce se vám bude počítat i více věcí než 10. U. Jedno okno má 10 tabulí, podívej kolik jich má druhé! Druhé okno jich má také 10. Ve dvou oknech je 2 x 10 oken (dva deset), a když se to rychle vysloví, řekne se dvacet. Kolik tabulí třetí okno? Tři okna mají třikrát deset (tři deset), zkrátka třicet tabulí. (tak ukazujeme dále, až 40, 50 atd. 100.)

Děti poté udávají, kolik desítek je 20, 30, 40 až 100.

Nyní následuje počítání od 10 do 20 následujícím způsobem:

Zde je 10 (čárek na tabuli - papíře nebo kamínků, klacíků, kostiček, kartiček…), k těm přidám 1; je tu tedy 10 a 1 nebo 1 a 10 . U. 1 a 10 / 10 a 1 se říká jedenáct (jedna na deset), 2 a 10 / 10 a 2 = dvanáct, atd až do 19.

Dále učitel jmenuje čísla 11, 12 až 19. U. Jaké číslo je mimo deset?

Dále následuje cvičení ve sčítání jako od 1 do 10. U. Kolik je 11 + 2; 12 + 2; 14 + 2; atd. 11 + 3; 12 + 3; 15 + 3; atd.

Početní cvičení VI. / Sčítámééé

9 + 1 = 10

9 + 2 = 11

9 + 3 = 12

9 + 4 = 13

9 + 5 = 14

9 + 6 = 15

9 + 7 = 16

9 + 8 = 17

9 + 9 = 18

U. Kolik je 9 + 2? Ž. 11. Důkaz 9 a 1 = 10 + 1 = 11

8 + 2 = 10

8 + 3 = 11

8 + 4 = 12

8 + 5 = 13

8 + 6 = 14

8 + 7 = 15

8 + 8 = 16

8 + 9 = 17

U. Kolik je 8 + 4? Ž. 12. U. Proč? Ž. 8 +2 = 10, 10 + 2 = 12

7 + 3 = 10

7 + 4 = 11 7 + (3 + 1) = 10 + 1 = 11

7 + 5 = 12

7 + 6 = 13

7 + 7 = 14

7 + 8 = 15

7 + 9 = 16

U. Kolik je 7 + 7? Ž. 7 + 7 = 14 U. Proč? Ž. 7 + 3 = 10, 10 + 4 = 14

6 + 4 = 10

6 + 5 = 11

6 + 6 = 12

6 + 7 = 13

6 + 8 = 14

6 + 9 = 15

U. Kolik je 6 + 8? Ž. 6 + 8 = 14 U. Proč? Ž. 6 + 4 = 10, 10 + 4 = 14

5 + 5 = 10

5 + 6 = 11

5 + 7 = 12

5 + 8 = 13

5 + 9 = 14

U. Kolik je 5 + 6? Ž. 5 + 6 = 11 U. Proč? Ž. 5 + 5 = 10, 10 + 1 = 11

Početná cvičení VII. / Odčítámééé

od

10 - 5 = 5

11 - 5 = 6

12 - 5 = 7

13 - 5 = 8

14 - 5 = 9

15 - 5 = 10

12 - 6 = 6

13 - 6 = 7

14 - 6 = 8

15 - 6 = 9

16 - 6 = 10

14 - 7 = 7

15 - 7 = 8

16 - 7 = 9

17 - 7 = 10

16 - 8 = 8

17 - 8 = 9

18 - 8 = 10

18 - 9 = 9

19 - 9 = 10

20 - 10 = 10

Početní cvičení VIII. / Násobímééé

6 x 2 = 12 2 x 6 =12

7 x 2 = 14 2 x 7 = 14

8 x 2 = 16 2 x 8 =16

9 x 2 = 18 2 x 9 = 18

10 x 2 = 20 2 x 10 = 20

4 x 3 = 12 3 x 4 = 12

5 x 3 = 15 3 x 5 = 15

6 x 3 = 18 3 x 6 = 18

3 x 4 = 12

4 x 4 = 16

5 x 4 = 20

3 x 5 = 15

4 x 5 = 20

2 x 6 = 12

3 x 6 = 18

2 x 7 = 14

2 x 8 = 16

2 x 9 = 18

2 x 10 = 20

Početní cvičení IX. / Připočítání jednotek k 20, 30, 40 až 90

Cvičení to není těžké, jen je třeba žáky upozornit, že se nejprve vyslovují desítky a pak až teprve jednotky. ( 20 + 1 i 1 + 20 = dvacet jedna)

Početní cvičení X. / Připočítání jednotek přes 20, 30, 40 až 90

Stejné jako cvičení VI. Zde učitel učí počítat postupně přes 20. 30, 40 až přes 90. (19 + 6, 28 + 7, 34 + 7 atd.)

Početní cvičení XI. / Sčítáme desítky a jednotky

desítky k desítkám

10 + 10; 20 + 20; 30 + 30.

40 + 10; atd 40 + 40.

50 + 10; 50 + 20; až 50 + 50.

připočítávání desítek a jednotek k desítkám:

10 + 11; 10 + 12; 10 + 13 atd.

20 + 11 atd., 30 + 11 atd., 40 + 11 atd..

připočítávání desítek a jednotek k desítkám a jednotkám:

11 + 11; 12 + 12; 13 + 13 atd.

21 + 21; 22 + 22 atd..

připočítávání nestejných čísel (součet jednotek je menší než 10):

13 + 14; 23 + 15 atd..

připočítávání nestejných čísel (součet jednotek je větší než 10):

13 + 18; 26 + 15 atd..